Φράκταλς

[steppenwolf]

http://www.tovima.gr/default.asp?pid=2&artid=84172&ct=34


Με τον διεθνή όρο φράκταλ (fractal, ελλ. μορφόκλασμα ή μορφοκλασματικό σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες ονομάζεται ένα γεωμετρικό σχήμα που επαναλαμβάνεται αυτούσιο σε άπειρο βαθμό μεγέθυνσης, κι έτσι συχνά αναφέρεται σαν "απείρως περίπλοκο". Το φράκταλ παρουσιάζεται ως "μαγική εικόνα" που όσες φορές και να μεγεθυνθεί οποιοδήποτε τμήμα του θα συνεχίζει να παρουσιάζει ένα εξίσου περίπλοκο σχέδιο με μερική ή ολική επανάληψη του αρχικού. Χαρακτηριστικό επομένως των φράκταλ είναι η λεγόμενη αυτο-ομοιότητα (self-similarity) σε κάποιες δομές τους, η οποία εμφανίζεται σε διαφορετικά επίπεδα μεγέθυνσης.

Τα φράκταλ σε πολλές περιπτώσεις μπορεί να προκύψουν από τύπο που δηλώνει αριθμητική, μαθηματική ή λογική επαναληπτική διαδικασία ή συνδυασμό αυτών. Η πιο χαρακτηριστική ιδιότητα των φράκταλ είναι ότι είναι γενικά περίπλοκα ως προς τη μορφή τους, δηλαδή εμφανίζουν ανωμαλίες στη μορφή σε σχέση με τα συμβατικά γεωμετρικά σχήματα. Κατά συνέπεια δεν είναι αντικείμενα τα οποία μπορούν να οριστούν με τη βοήθεια της ευκλείδειας γεωμετρίας. Αυτό υποδεικνύεται από το ότι τα φράκταλ, όπως έχει αναφερθεί παραπάνω, έχουν λεπτομέρειες, οι οποίες όμως γίνονται ορατές μόνο μετά από μεγέθυνσή τους σε κάποια κλίμακα.
Το σύνορο του συνόλου Μάντελμπροτ έχει κι αυτό φράκταλ δομή.

Για να γίνει αντιληπτός αυτός ο διαχωρισμός των φράκταλ σε σχέση με την ευκλείδεια γεωμετρία, αναφέρουμε ότι, αν μεγεθύνουμε κάποιο αντικείμενο το οποίο μπορεί να οριστεί με την ευκλείδεια γεωμετρία, παραδείγματος χάριν την περιφέρεια μιας έλλειψης, αυτή μετά από αλλεπάλληλες μεγεθύνσεις θα εμφανίζεται απλά ως ευθύγραμμο τμήμα. Η συμβατική ιδέα της καμπυλότητας η οποία αντιπροσωπεύει το αντίστροφο της ακτίνας ενός προσεγγίζοντος κύκλου, δεν μπορεί ωφέλιμα να ισχύσει στα φράκταλ επειδή αυτή εξαφανίζεται κατά τη μεγέθυνση. Αντίθετα, σε ένα φράκταλ, θα εμφανίζονται κατόπιν μεγεθύνσεων λεπτομέρειες που δεν ήταν ορατές σε μικρότερη κλίμακα μεγέθυνσης.

Φράκταλ απαντώνται και στη φύση, χωρίς όμως να υπάρχει άπειρη λεπτομέρεια στη μεγέθυνση όπως στα φράκταλ που προκύπτουν από μαθηματικές σχέσεις. Ως παραδείγματα φράκταλ στη φύση, αναφέρονται το σχέδιο των νιφάδων του χιονιού, τα φύλλα των φυτών ή οι διακλαδώσεις των αιμοφόρων αγγείων.

Ο όρος προτάθηκε από τον Μπενουά Μάντελμπροτ (Benoît Mandelbrot) το 1975 και προέρχεται από τη λατινική λέξη fractus, που σημαίνει "σπασμένος", "κατακερματισμένος".

Για να κατανοήσουμε καλύτερα την αναγκαιότητα εισαγωγής των φράκταλ αναφέρουμε το εξής παράδειγμα:

Η περίμετρος ενός νησιού εννοείται ότι είναι ορισμένη. Ωστόσο, αν χρησιμοποιήσουμε ακρίβεια ενός μέτρου για να την μετρήσουμε, θα την βρούμε μικρότερη από ότι πραγματικά είναι γιατί δεν θα μπορέσουμε να μετρήσουμε τις κοιλότητες που είναι μικρότερες του ενός μέτρου. Αν μετρήσουμε με ακρίβεια ενός εκατοστού, πάλι θα χάσουμε ορισμένες κοιλότητες. Έτσι καταλήγουμε σε απειροστά μικρή μονάδα μέτρησης και η περίμετρος του νησιού θα γίνει άπειρη. Η επιφάνεια όμως του νησιού, η έκτασή του δηλαδή, είναι ορισμένη. Το παράδοξο αυτό, το οποίο η Ευκλείδεια Γεωμετρία αδυνατεί να εξηγήσει, αντιμετωπίζεται με τα φράκταλ.


http://www.youtube.com/watch?v=5BdxlngncUk&feature=related
_________________
1. '' Τα πάντα ρει'' - όλα είναι πιθανά!
2. Αντικειμενικά είναι μόνο τα γεγονότα. Σχετικές και πρόσκαιρες οι ερμηνείες τους.
3.Ψυχή = Ο πάντα παρόν πίσω από το πλήθος των εναλασσόμενων τάσεων, στάσεων και απόψεων, βουβός παρατηρητής .

[ΟΛΥΜΠΙΟΣ ΑΠΟΛΛΩΝ]

Φυσική λοιπόν εξέλιξη τών επί του επιστητού, ήταν αυτοί πού "δόθηκαν" στον "άνθρωπο". Πού ώς μέτρο την ανθρώπινη ύπαρξη, προσπάθησαν να δικαιολογήσουν την Αρμονία, την Συμπαντική Συνέχεια του Όντος.
Ξενιάδης αυτός ο λαλίστατος και Λυκόφρων ο καταφρονημένος, από τους σύγχρονους "διανοητές της αφαίμαξης", οι πρός τα της διαχώρησης του Ενός στα κατ' ανάγκην 'Ενα.
- Τέμνω το Άπειρον λοιπόν, μ' αγέρα τον Αιθέρα.
Κι ίσως το "είναι" η υπερβολή, αφού τό "Έν, είναι εστίν".
Το μόνο πού με κανει κι απορώ ακόμη, αυτό πού ώς μέτρο δέν δύναται πλέον να ορισθεί. Κι αυτό σε νέους δείκτες οδηγεί. Σε νέες υποσχέσεις.
Ίσως άν η Ελπίδα αφαιρεθεί, νοήται αυτή ώς ένα από τα πρωτοστατούντα στοιχεία στήριξης, ίσως λέγω, η μεγένθυνση να μπορέσει ν' αποδόση πιότερα, μιάς και ο χώρος κείνος πιό ελεύθερος θέ νάναι.
Είς εκ τού Ενός ο άνθρωπος, ώς άπειρον το Ένα...
_________________
Μ' ΑΥΤΟ Η ΣΚΕΨΗ ΜΟΥ ΡΙΓΑ
ΚΙ ΑΥΤΟ ΕΙΝ' Τ' ΟΝΕΙΡΟ ΣΟΥ

[spyros]

Υπάρχει Στέπεν και ένα άλλο χαρακτηριστικό των Φράκταλ: ΔΕΝ είναι απαραίτητο να έχουν ακέραιες διαστάσεις!
Το πιό διάσημο φράκταλ, όπως προανέφερες, είναι η νήσος του Μάλντελμπροτ (συγκεκριμένα το περίγραμμα της ακτής της), το οποίο ενώ ως καμπύλη θα περιμέναμε να έχει διάσταση ένα (1), εντούτοις έχει διάσταση δύο (2).
Για μένα, μέσα από την μελέτη της χαοτικής-φράκταλ δυναμικής εύκολα διακρίνει κανείς μια "ανώτερη διάνοια" (η οποία ούτως άλλως γίνεται αντιληπτή από τη μελέτη όλου του εύρους της φύσης-ακόμα και της νεκρής-, και κυρίως της βιολογίας ). Και πίστεψέ με, γνωρίζω πάρα πολλούς διακεκριμένους φυσικούς που αποδέχτηκαν το "Θείο" μετά από επίπονη ενασχόληση με τις φυσικές επιστήμες. Και δε γνωρίζω κανέναν σοβαρό επιστήμονα, που από θρήσκος να έγινε άθεος.
Αποστασιοποιημένος ναί, αλλά όχι άθεος.
Βέβαια, έπιασες ένα θέμα που όπως είδα ελάχιστοι το γνωρίζουν, ή το προσεγίζουν (μου έρεσε η ποιητική προσέγιση του Ολύμπιου πιο πάνω).
Μη πτοείσαι όμως!
Μπορεί να είμαστε λίγοι και σκόρπιοι, αλλά πάντα κάτι συμβαίνει και συναντιώμαστε!

Πρίν δύο χρόνια έκανα μια παρουσίαση στο ΑΠΘ πάνω στο Χάος και στα Φράκταλ. Το power point της παρουσίασής μου είναι αρκετά "εκλαϊκευμένο".
Αν θές μπορώ να σου το στείλω με e-mail.

[Bugman]

http://www.frontier.co.uk/games/older/elite/

Το πρώτο 3D διαστημικό παιχνίδι, Elite (1984), είχε χρησιμοποιήσει τεχνολογία fractals για να χωρέσει σε μνήμη 22Kbyte οκτώ γαλαξίες με χιλιάδες πλανήτες (για καθέναν πλανήτη έβγαιναν στοιχεία, γενική περιγραφή κ.α.)
http://www.frontier.co.uk/games/older/elite/?artid=57&pageNum=0&blk=126
_________________
Σκορπίστε γνώση, μαζέψτε χαρά!

Η γνώση δεν μπορεί να πουληθεί: Γιατί ενώ κάθε εμπόρευμα μπορεί να επιστραφεί, η γνώση δεν μπορεί να επιστραφεί!

[steppenwolf]

Thanks Spyro,

Το θέμα είναι δύσκολο και ομολογώ οτι και εγώ δεν το γνωρίζω σε βάθος.
Αν είναι αρκετά εκλαικευμένη όπως λες η παρουσίαση σου, ναι θα με ενδιέφερε να την διαβάσω.
_________________
1. '' Τα πάντα ρει'' - όλα είναι πιθανά!
2. Αντικειμενικά είναι μόνο τα γεγονότα. Σχετικές και πρόσκαιρες οι ερμηνείες τους.
3.Ψυχή = Ο πάντα παρόν πίσω από το πλήθος των εναλασσόμενων τάσεων, στάσεων και απόψεων, βουβός παρατηρητής .

[steppenwolf]

Ευχαριστώ Σπύρο! Τα είδα!

Εντυπωσιακά και τα δύο.

Από τους μαθηματικούς τύπους στο πρώτο βέβαια, δεν κατάλαβα και πολλά,

αλλά πήρα μια γενική ιδέα από τις υπόλοιπες αναφορές.
Εντυπωσιακό και αυτό στο τέλος με τα τρίγωνα που σχηματίζουν βουνό!
_________________
1. '' Τα πάντα ρει'' - όλα είναι πιθανά!
2. Αντικειμενικά είναι μόνο τα γεγονότα. Σχετικές και πρόσκαιρες οι ερμηνείες τους.
3.Ψυχή = Ο πάντα παρόν πίσω από το πλήθος των εναλασσόμενων τάσεων, στάσεων και απόψεων, βουβός παρατηρητής .

[Bugman]

Πριν από είκοσι και χρόνια, όταν διάβαζα το The Art of Microcomputer Graphics (1984) http://www.worldcat.org/isbn/0201144352 , εντυπωσιάστηκα με τις δυνατότητες των υπολογιστών να συνθέσουν μια πολυσύνθετη εικόνα χρησιμοποιώντας αλγόριθμους με δυνατότητα αναδρομής ( http://en.wikipedia.org/wiki/Recursion )
να ένα παράδειγμα:
_________________
Σκορπίστε γνώση, μαζέψτε χαρά!

Η γνώση δεν μπορεί να πουληθεί: Γιατί ενώ κάθε εμπόρευμα μπορεί να επιστραφεί, η γνώση δεν μπορεί να επιστραφεί!

[spyros]

Χάρηκα με τη χαρά σου Στέπεν!
Δηλαδή τώρα νοιώθω αγάπη;
Μήπως είμαι ερωτευμένος μαζί σου;
(αυτό για τον Μπάκμαν.!)

Πραγματικά χάρηκα που σου άρεσε. Είναι ακριβώς αυτή η αναδρομικότητα που τα δημιουργεί!
Υπέροχα απλό!

Αν δεν χόρτασες και θές να τσιμπίσεις κάτι από φιλοσοφία, διάβασε Πριγκοζίν.
Είναι ο μπαμπάς του χάους!

[Bugman]

spyro...αφού χάρηκες από την χαρά του steppenwolf για αυτά που έδωσες...ασφαλώς ένιωσες αγάπη.
Το ρήμα αγαπώ...σε ενεργητική φωνή σημαίνει "μου αρέσει"...(π.χ. αγαπώ το παγωτό). Το ρήμα όμως αυτό σε παθητική φωνή έχει την κανονική σημασία....Δηλαδή ο άνθρωπος αγαπιέται...Η αγάπη είναι εκείνη η κατάσταση (ή αλλιώς ιστορία), όπου κάποιος αγαπιέται...από κάποιον που νιώθει την αγάπη. Ο steppenwolf αγαπήθηκε από σένα ...γιατί στη χαρά του που εσύ δημιούργησες ένιωσες χαρά...Έτσι υλοποίησες τον ορισμό της αγάπης.
Αν λοιπόν ένας τρίτος χαρακτήριζε αυτή την κατάσταση...θα έλεγε πώς ο steppenwolf είναι αγαπημένος φίλος του Spyrou.
Η αγάπη στην ουσία είναι κατάσταση...όπου μια πράξη και δυο συναισθήματα χαράς την δημιουργούν. Το αγαπάτε αλλήλους είναι πολύ σοφό...γιατί σαν αίτημα ζητάμε να υπάρχουν πράξεις και από τις δυο πλευρές ώστε όχι μόνο ο ένας να είναι αγαπημένος από τον άλλο, αλλά και το ανάποδο. Γι΄αυτό και τα Χριστούγεννα όχι απλά συμβολικά αλλά και πραγματικά η ανταλλαγή δώρων πραγματώνει αυτό το αίτημα "αγαπάτε αλλήλους".
_________________
Σκορπίστε γνώση, μαζέψτε χαρά!

Η γνώση δεν μπορεί να πουληθεί: Γιατί ενώ κάθε εμπόρευμα μπορεί να επιστραφεί, η γνώση δεν μπορεί να επιστραφεί!

[steppenwolf]

xm......... οπότε Σπύρο και Μπάγκμαν περιμένω τα χριστουγεννιατικά δώρα που μου χρωστάτε !!!!
_________________
1. '' Τα πάντα ρει'' - όλα είναι πιθανά!
2. Αντικειμενικά είναι μόνο τα γεγονότα. Σχετικές και πρόσκαιρες οι ερμηνείες τους.
3.Ψυχή = Ο πάντα παρόν πίσω από το πλήθος των εναλασσόμενων τάσεων, στάσεων και απόψεων, βουβός παρατηρητής .

[tiresias07]

Σας χαιρετώ όλους!
Είμαι νέος εδώ κι έχω μια ερώτηση...
Μπορεί το φράκταλ να έχει σχέση με τους Πρώτους αριθμούς;